Дифференциалы высших порядков от функций с двумя переменными.
Формула для вычисления дифференциалов высших порядков от функций с двумя переменными.
Дифференциалы высших порядков определяются как: $$ \mathrm{d}^n f(x,y) = \left( \dfrac{\partial}{\partial x} \mathrm{d} x + \dfrac{\partial}{\partial y} \mathrm{d} y \right)^n \cdot (f(x,y)) $$ Иначе, разложив по формуле бинома Ньютона, получим: $$ \mathrm{d}^n f(x,y) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} C^k_n \dfrac{\partial^n f}{\partial x^{n-k} \cdot \partial y^k } \cdot \mathrm{d} x^{n-k} \cdot \mathrm{d} y^k $$
Пример 1.
$f(x,y) = x \cdot \ln y \; \; \;$ Найти: $\mathrm{d}^3 f(x,y)$Формула для вычисления дифференциала третьего порядка от функции двух переменных: $$ \mathrm{d}^3 f(x,y) = C^0_3 \cdot \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3} \cdot \mathrm{d} x^3 + C^1_3 \cdot \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} \cdot \mathrm{d} x^2 \cdot \mathrm{d} y + $$ $$ + C^2_3 \cdot \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y^2 + C^3_3 \cdot \dfrac{\partial^3 f}{\partial y^3} \cdot \mathrm{d} y^3 $$ Вычислим частные производные: $$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \ln y; \; \; \; \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0; \; \; \; \; \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3} = 0;$$ $$ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{x}{y}; \; \; \; \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = - \dfrac{x}{y^2}; \; \; \; \; \dfrac{\partial^3 f}{\partial y^3} = \dfrac{2x}{y^3}; $$ $$ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} = 0; \; \; \; \; \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} = -\dfrac{1}{y^2}$$ Подставим значения в формулу: \[ \mathrm{d}^3 f(x,y) = 1 \cdot 0 \cdot \mathrm{d} x^3 + 3 \cdot 0 \cdot \mathrm{d} x^2 \cdot \mathrm{d} y + \] \[ + 3 \cdot \left( - \dfrac{1}{y^2}\right) \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y^2 + 1 \cdot \dfrac{2x}{y^3} \cdot \mathrm{d} y^3 \] Вычислим оставшееся: \[ \mathrm{d}^3 f(x,y) = 0 + 0 - \dfrac{3}{y^2} \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y^2 + \dfrac{2x}{y^3} \cdot \mathrm{d} y^3 \] \[ \mathrm{d}^3 f(x,y) = - \dfrac{3}{y^2} \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y^2 + \dfrac{2x}{y^3} \cdot \mathrm{d} y^3 \]
Ответ: $ - \dfrac{3}{y^2} \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y^2 + \dfrac{2x}{y^3} \cdot \mathrm{d} y^3$
Пример 2. (Лунгу № 11.5.7)
$z=f(x,y)= \sin x \cdot \sin y \; \;$ Найти: $\mathrm{d}^2 z$Формула для вычисления дифференциала второго порядка от функции двух переменных: \[ \mathrm{d}^2 z = C^0_2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \mathrm{d} x^2 + C^1_2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y + C^2_2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} \cdot \mathrm{d} y^2 \] Вычислим частные производные: \[ \dfrac{\partial z}{\partial x} = \cos x \cdot \sin y; \; \; \; \; \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = - \sin x \cdot \sin y; \] \[ \dfrac{\partial z}{\partial y} = \sin x \cdot \cos y; \; \; \; \; \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = - \sin x \cdot \sin y; \] \[ \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos x \cdot \cos y; \] Подставим значения в формулу: \[ \mathrm{d}^2 z = 1 \cdot (- \sin x \sin y) \cdot \mathrm{d} x^2 + 2 \cdot \cos x \cos y \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y + 1 \cdot (- \sin x \sin y) \cdot \mathrm{d} y^2 \] \[ \mathrm{d}^2 z = - \sin x \sin y \cdot \mathrm{d} x^2 + 2 \cos x \cos y \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y - \sin x \sin y \cdot \mathrm{d} y^2 \] Ответ: $ - \sin x \sin y \cdot \mathrm{d} x^2 + 2 \cos x \cos y \cdot \mathrm{d} x \cdot \mathrm{d} y - \sin x \sin y \cdot \mathrm{d} y^2 $
Сохранить эту страницу PDF
Текст данной страницы можно сохранить как PDF: Скачать PDF с серверов Вконтакте Download PDF from web archive servers
