Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
23 мар. 2025
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1.
$xyy' = (y^2 - 1)$ \[ xy\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = (y^2 - 1) \]Приведём к уравнению с разделёнными переменными и проинтегрируем.
\[ \int \dfrac{y \cdot \mathrm{d} y}{y^2 - 1} = \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x} \] \[ \dfrac{1}{2} \int \dfrac{\mathrm{d} (y^2 - 1)}{y^2 - 1} = \ln |x| + \ln |C| \] \[ \dfrac{1}{2} \ln |y^2 - 1| = \ln |x| + \ln |C| \] \[ \ln \sqrt{y^2 - 1} = \ln |x| + \ln |C| \]Уберём логарифмы и возведём в квадрат: \[ y^2 - 1 = x^2 \cdot C' \] Ответ: $ y^2 - 1 = x^2 \cdot C' $
Пример 2. (Лунгу № 2.1.21)
$y' - xy^2 = 0$ \[ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = xy^2 \]Приведём к уравнению с разделёнными переменными и проинтегрируем.
\[ \int \dfrac{\mathrm{d} y}{y^2} = \int x \mathrm{d} x \] \[ - \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{C}{2} \] \[ y = - \dfrac{2}{x^2 + C} \]Ответ: $ y = - \dfrac{2}{x^2 + C} $
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Общий вид Л.Д.У.
\[ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x) \cdot y = Q(x) \]Схема решения Л.Д.У.
Здесь представлены только формулы для решения, подробный вывод читай по теме: линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
\[ y = u(x) \cdot v(x) \] \[ v(x) = e^{- \int P(x) \mathrm{d} x} \] \[ y = v(x) \cdot \left[ \int \dfrac{Q(x)}{v(x)} \mathrm{d} x + C \right] \]Пример 3.
\[ y - y' + \dfrac{3 e^x}{\sin^2 3x} = 0 \] \[ y' - y = \dfrac{3 e^x}{\sin^2 3x} \] Найдём $v(x)$, подставив в формулу (см. общий вид) известное $P(x)$. \[ v(x) = e^{- \int -1 \mathrm{d} x} = e^x \] \[ y = e^x \cdot \left[ \int \dfrac{3 e^x}{\sin^2 3x \cdot e^x} \mathrm{d} x + C \right] \] \[ y = e^x \cdot \left[ \int \dfrac{\mathrm{d} (3x)}{\sin^2 3x} + C \right] \] \[ y = e^x \cdot ( -\text{ctg} (3x) + C ) \]Ответ: $ y = e^x \cdot ( -\text{ctg} (3x) + C ) $
Пример 4. (Лунгу № 2.3.2)
\[ y' - 2xy = e^{x^2} \]Решаем по той же схеме.
\[ v(x) = e^{- \int -2x \mathrm{d} x} = e^{x^2} \] \[ y = e^{x^2} \cdot \left[ \int \dfrac{e^{x^2}}{e^{x^2}} \mathrm{d} x + C \right] \] \[ y = e^{x^2} \cdot \left[ \int 1 \mathrm{d} x + C \right] \] \[ y = e^{x^2} \cdot (x + C) \]Ответ: $ y = e^{x^2} \cdot (x + C) $
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородное уравнение нулевого измерения можно привести к виду:
\[ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f \left( 1, \dfrac{y}{x}\right) \]Метод замены переменной.
Сделаем подстановку:
$u = \dfrac{y}{x}$, то есть $y = u \cdot x$, тогда $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} + u$Подставляя выражение производной в уравнение, получим:
\[ \dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} + u = f \left( 1, \dfrac{y}{x}\right) \] \[ \dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} = f(1,u) - u \]Получили уравнение с разделяющимися переменными.
\[ \dfrac{\mathrm{d} u}{f(1,u) - u} = \dfrac{\mathrm{d} x}{x} \] Проинтегрировав это выражение и подставив вместо $u$ отношение $y/x$, получим ответ.Пример 5.
\[ y' = \dfrac{8xy - 28x^2 - 7y^2}{8x^2} \] Разделим правую часть. \[ y' = \dfrac{y}{x} - \dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{8} \dfrac{y^2}{x^2} \] Сделаем подстановку $u = \dfrac{y}{x}$, $ \; \; \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} + u$ \[ u + \dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} = u - \dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{8} \cdot u^2 \] \[ \dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} = - \dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{8} \cdot u^2 \] \[ \dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} = - \dfrac{7}{2} \cdot \left( 1 + \dfrac{u^2}{2^2} \right) \] \[ \int \dfrac{\mathrm{d} u}{1 + \left( \frac{u}{2} \right)^2 } = - \dfrac{7}{2} \int \dfrac{\mathrm{d} x }{x} \] \[ \int \dfrac{2 \cdot \mathrm{d} \left( \frac{u}{2} \right)}{1 + \left( \frac{u}{2} \right)^2 } = - 3,5 \cdot (\ln |x| + \ln |C|) \] \[ 2 \, \text{arctg} \dfrac{u}{2} = - 3,5 \cdot \ln |Cx| \] Подставим вместо $u$ отношение $y/x$. \[ 2 \, \text{arctg} \left( \dfrac{y}{2x} \right) = - 3,5 \cdot \ln |Cx| \]Ответ: $ 2 \, \text{arctg} \left( \dfrac{y}{2x} \right) = - 3,5 \cdot \ln |Cx| $
Пример 6. (Лунгу № 2.2.2)
\[ y \mathrm{d} x + (x + y) \mathrm{d} y = 0\] Сделаем так, чтоб в левой части остался только $y'$. \[ y + (x + y) \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \] \[ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{- y}{x + y} \] Сделаем подстановку $u = \dfrac{y}{x}$, $ \; \; \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\dfrac{\mathrm{d} u \cdot x}{\mathrm{d} x} + u$ \[ \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot x + u = \dfrac{- u}{1 + u}\] \[ \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot x = \dfrac{- 2 u - u^2}{1 + u} \] \[ \int \dfrac{(1 + u) \mathrm{d} u}{-2u -u^2} = \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x} \] Найдём интеграл слева, для этого сделаем замену. $t = -2u - u^2$, тогда $ \; \mathrm{d} t = (-2 -2u) \mathrm{d} u = - 2 (1 + u) \mathrm{d} u$ \[ \int \dfrac{(1 + u) \mathrm{d} u}{-2u -u^2} = \int \dfrac{- \dfrac{1}{2}\mathrm{d} t}{t} \] Подставим интеграл в уравнение. \[ - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{\mathrm{d} t}{t} = \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x} \] \[ - \dfrac{1}{2} \ln |t| = \ln |x| + ln |C| \] Воспользуемся свойствами логарифмов. \[ \dfrac{1}{\sqrt{t}} = Cx \] \[ t = (Cx)^{-2} \] Перейдем от $t$, к $u$, а далее от $u$ к $y/x$. \[ -2u - u^2 = C' \cdot x^{-2} \] \[ u^2 \cdot x^2 + 2 \cdot u \cdot x^2 = C'' \] \[ y^2 + 2xy = C'' \]Ответ: $ y^2 + 2xy = C $
Сохранить эту страницу PDF
Текст данной страницы можно сохранить как PDF: Скачать PDF с серверов Вконтакте Download PDF from web archive servers
