Исследование сходимости рядов.
Сумма ряда.
\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \] $S_n$ — частичная сумма ряда, из $n$ членов.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности $\{S_n\}$ его частичных сумм: \[ \lim\limits_{n \to \infty} S_n = S \] В этом случае указанный предел называется суммой ряда. Если $\lim\limits_{n \to \infty} S_n$ не существует или равен бесконечности, то числовой ряд называется расходящимся и суммы не имеет.
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его $n$-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании $n$. \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \] Если $n$-й член ряда не стремится к нулю при $n \to \infty$, то ряд расходится. Этот признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что $n$-й член стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится, — ряд может и расходиться.
Сходимость геометрического ряда
\[ a + aq + aq^2 + ... + aq^{n-1} + ... \] Ряд составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$ и первым членом $a \neq 0$, называется геометрическим рядом.
Если $|q|\geq1$, то геометрический ряд расходится. Если $|q|<1$, то геометрический ряд сходится (при этом его сумма $S$ находится по формуле $S = \dfrac{a}{1-q}$)Сходимость ряда Дирихле
\[ 1 + \dfrac{1}{2^p} + \dfrac{1}{3^p} + ... + \dfrac{1}{n^p} + ...\] Данный ряд, или, что то же самое, \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \] где $p>0$, называется рядом Дирихле.
Ряд Дирихле сходится при $p>1$. Ряд Дирихле расходится при $0 < p \leq 1$. Частным случаем ряда Дирихле (при $p=1$) является гармонический ряд. Гармонический ряд расходится.
1-й признак сравнения
Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ — ряды с положительными членами, причём $a_n \leq b_n$ для всех номеров $n$, начиная с некоторого. Тогда:
- Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится, то сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$;
- Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится, то расходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$;
2-й признак сравнения
Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ — ряды с положительными членами, причём существует конечный и отличный от нуля предел \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} \] Тогда ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ сходятся или расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+7}{n^4 + 2n + 1} \] Учитывая, что числитель и знаменатель дроби неограниченно растут при $n \to \infty$, запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений: \[ \dfrac{n+7}{n^4 + 2n + 1} \sim \dfrac{n}{n^4} = \dfrac{1}{n^3} \; \; \; (n \to \infty) \] Сравним данный ряд с соответствующим рядом Дирихле. По 2-ому признаку сравнения. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+7}{n^4 + 2n + 1} : \dfrac{1}{n^3} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^4+7n^3}{n^4 + 2n + 1} = 1 \] $1 \neq 0$, условие 2-ого признака выполняется. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3}$ — есть сходящийся ряд Дирихле, так как $p=3>1$, значит исходный ряд тоже сходится.
Ответ: исходный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^2+n-1}{n+1} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2+n-1}{n+1} = \infty\]Ответ: $\infty \neq 0$, значит исходный ряд расходится так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Признак Даламбера
Если в ряде с положительными членами \[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ... \] отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му при $n \to \infty$ имеет (конечный) предел $l$, т.е. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = l, \] то:- в случае $l<1$ ряд сходится;
- в случае $l>1$ ряд расходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n^2+5}{(2n^2+n)4^n} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2(n+1)^2 + 5}{(2(n+1)^2 + n+1)4^{n+1}} \cdot \dfrac{(2n^2+n)4^n}{2n^2+5} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4n^4 + ...}{4n^4 + ...} = \dfrac{1}{4} \]Ответ: $\dfrac{1}{4}<1$, значит исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n!2^n}{(n+1)!} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n+1)!2^{n+1}}{(n+2)!} \cdot \dfrac{(n+1)!}{n!2^n} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2 (n+1)}{n+2} = 2 \]Ответ: $2>1$, значит исходный ряд расходится по признаку Даламбера.
Признак Коши
Если для ряда с положительными членами \[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ... \] величина $\sqrt[n]{a_n}$ имеет конечный предел $l$ при $n \to \infty$, т.е. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l, \] то:- в случае $l<1$ ряд сходится;
- в случае $l>1$ ряд расходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(3n^2 -2n +3)^n}{(2n^3 +2n -3)^n} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 -2n +3}{2n^3 +2n -3} = 0\]Ответ: $0<1$, значит исходный ряд сходится по признаку Коши.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(3n^2+n-2)^n}{(n+6)^{2n}} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2+n-2}{(n+6)^2} = 3 \]Ответ: $3>1$, значит исходный ряд расходится по признаку Коши.
Признак Лейбница.
Рассмотрим знакочередующийся ряд. Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Например: \[ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ... + (-1)^{n+1} a_n + ... \] где $ a_1, a_2, a_3, ... a_n, ...$ положительны. Иначе можно записать как: \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \] Если в рассматриваемом ряде члены таковы, что \[ a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n > ... \] (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают) и \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0, \] (общий член ряда стремится к нулю при $n \to \infty$), то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.Знакопеременные ряды
Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является знакопеременным.
Если знакопеременный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$, таков, что составленный из абсолютных величин его членов ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ сходится, то и данный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ также сходится. В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
Если же знакоперменный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ расходится, то данный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ называется условно сходящимся.
Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ к ряду $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{4}{(n+4)(n+23)} \]- Абсолютные величины членов данного ряда положительны и монотонно убывают при $n \to \infty$, так как в числителе константа. \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4}{(n+4)(n+23)} = 0 \]
- Общий член ряда стремится к нулю при $n \to \infty$.
Ответ: исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{(n+2)5^n}{(n+10)(n+30)} \] Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда используя признак Даламбера. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n+3)5^{n+1}}{(n+11)(n+31)} \cdot \dfrac{(n+10)(n+30)}{(n+2)5^n} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{5 n^3 + ...}{n^3 + ...} = 5 \] $5>1$, по признаку Даламбера этот ряд расходится, а значит исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Из полученного результата $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 5>1$ следует, что при $(n \to \infty)$, $\; \; a_n$ не стремится к нулю, а значит не выполняется необходимый признак сходимости, исходный ряд расходится.Ответ: исходный ряд расходится.
Сохранить эту страницу PDF
Текст данной страницы можно сохранить как PDF: Скачать PDF с серверов Вконтакте Download PDF from web archive servers
