Область сходимости ряда.

Радиус сходимости

Общий вид степенного ряда \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \] Интервал $(a_0 - R; a_0 + R)$ называется интервалом сходимости действительного степенного ряда. В каждой точке интервала сходимости ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне отрезка $[x_0-R; x_0+R]$ ряд расходится. На границах интервала сходимости, т.е. в точках $x= x_0 \pm R$ ряд может как сходится, так и расходится. Число $R$ называется радиусом сходимости.

Интервал сходимости ряда определяют с помощью признака Даламбера или признака Коши, применённых к знакоположительному ряду \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_n (x-a)^n| \] составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда. Для вычисления радиуса сходимости $R$ степенного ряда применяются также формулы: \[ R = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] и \[ R = \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \] в тех случаях, когда указанные пределы существуют.

Пример 1. Найти область сходимости ряда.

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^2+2n}{(2n^2 +3)2^n} (x-3)^n \] Применим признак Даламбера. \[\lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{(2n^2 +3)2^n \cdot ((n+1)^2+2n+2) \cdot (x-3)^{n+1}}{(n^2+2n) \cdot (x-3)^n \cdot (2(n+1)^2 +3)2^{n+1}} \right| = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-3| \cdot (2n^4 + ...) }{2 \cdot (2n^4 + ...)} = \] \[ = \dfrac{|x-3|}{2} < 1 \] раскроем модуль \[ -1 < \dfrac{x-3}{2} < 1 \] \[ -2 < x-3 < 2 \] \[ 1 < x < 5 \] Исследуем сходимость рядов на концах этого интервала. При $x=1$ получим \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^2+2n}{(2n^2 +3)2^n} (-2)^n \] Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов этого ряда используя признак Даламбера. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(2n^2 +3)2^n \cdot ((n+1)^2+2n+2) \cdot (-2)^{n+1}}{(n^2+2n) \cdot (-2)^n \cdot (2(n+1)^2 +3)2^{n+1}} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1) \cdot (2n^4 + ...)}{2n^4 + ...} = -1 \] $-1 < 1$, значит при $x=1$ ряд абсолютно сходящийся. При $x=5$ получим \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n^2+2n)2^n}{(2n^2 +3)2^n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^2+2n}{2n^2 +3} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2+2n}{2n^2 +3} = \dfrac{1}{2} \] $\dfrac{1}{2} \neq 0$ значит при $x=5$ ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Ответ: $[1;5)$

Пример 2. Найти область сходимости ряда.

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{(3n^3 + n) 2^n} (x-1)^n \] Применим признак Даламбера. \[\lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{(n+3) \cdot (x-1)^{n+1} \cdot (3n^3 + n) 2^n }{(3(n+1)^3 + n+1) 2^{n+1} \cdot (n+2) \cdot (x-1)^n} \right| = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-1| \cdot (3n^4 + ...)}{2 \cdot (3n^4 + ...)} = \] \[ \dfrac{|x-1|}{2} < 1 \] раскроем модуль \[ -1 < \dfrac{x-1}{2} < 1 \] \[ -2 < x-1 < 2 \] \[ -1 < x < 3 \] Исследуем сходимость рядов на концах этого интервала. При $x=-1$ получим ряд \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{(3n^3 + n) 2^n} (-2)^n = \] \[ = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{n+2}{3n^3 + n} \] составим ряд из абсолютных величин этого ряда: \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{3n^3 + n} \] Сравним ряд составленный из абсолютных величин с рядом Дирихле имеющим вид: \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} \] Как известно, данный ряд Дирихле сходится так как $p>1$. Применим признак сравнения: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+2}{3n^3 + n} : \dfrac{1}{n^2} \right) = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^3 + 2n^2}{3n^3 + n} = \dfrac{1}{3}\] $\dfrac{1}{3} \neq 0$, значит так как ряд Дирихле сходится, то и сравниваемый ряд сходится. Так как ряд из абсолютных величин сходится, то исходный ряд при $x= -1$ является абсолютно сходящимся. Проверим ряд при $x = 3$. Получим \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{(3n^3 + n) 2^n} (2)^n = \] \[ = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{3n^3 + n} \]

В предыдущем пункте при сравнении мы установили, что данный ряд сходится.

Ответ: $[-1;3]$

Пример 3. Найти область сходимости ряда.

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n^2+1) \cdot 2^n}{n^3 + 2n} (x-1)^n \] Найдём радиус сходимости \[ R = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \] \[ R = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n^2+1) \cdot 2^n \cdot ((n+1)^3 + 2n+2) }{(n^3 + 2n) \cdot ((n+1)^2+1) \cdot 2^{n+1}} = \] \[ = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^5 + ...}{2 \cdot (n^5 + ...)} = \dfrac{1}{2} \] Интервал сходимости по определению: $(a_0 - R; a_0 + R)$, в нашем случае $R = \dfrac{1}{2}$, $a_0 = 1$, значит интервал равен \[ \left( \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2} \right) \] Исследуем сходимость рядов на концах этого интервала. При $x= \dfrac{3}{2}$ получим \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n^2+1) \cdot 2^n}{(n^3 + 2n) \cdot 2^n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^2+1}{n^3 + 2n} \] Сравним полученный ряд с гармоническим рядом. \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n^2+1}{n^3 + 2n} : \dfrac{1}{n} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^3 + n}{n^3 + 2n} = 1 \] $1 \neq 0$, как известно, гармонический ряд расходится, значит и сравниваемый ряд расходится. При $x= \dfrac{1}{2}$ получим \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{(n^2+1) \cdot 2^n}{(n^3 + 2n) \cdot 2^n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{n^2+1}{n^3 + 2n} \] Применим признак Лейбница: \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2+1}{n^3 + 2n} = 0 \] Общий член ряда стремится к нулю при $n \to \infty$, значит знакочередующийся ряд сходится.

Ответ: $ \left[ \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2} \right)$

Сохранить эту страницу PDF

Текст данной страницы можно сохранить как PDF: Скачать PDF с серверов Вконтакте Download PDF from web archive servers