1.14.2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Рассмотрим бесконечную плоскость заряженную положительно с постоянной поверхностной плотностью $+ \sigma = \dfrac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} S}$. Линии напряжённости перпендикулярны плоскости и направлены от неё в обе стороны.

Представим себе цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от неё на одинаковых расстояниях. Примем этот цилиндр в качестве Гауссовой поверхности, то есть найдём по теореме Гаусса поток вектора напряжённости через поверхность цилиндра. (см. рис. 21)

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряжённости $\alpha = 90^{\circ}$, где $\alpha$ угол между $\vec{E}$ и нормалью к боковой поверхности, значит $\cos \alpha = 0$, то поток вектора напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен нулю.

Пусть площадь основания $S$, тогда поток через одно основание равен: $ES$, так как основание перпендикулярно вектору напряжённости $\alpha = 0$, $\cos \alpha = 1$. Значит полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания, равен $2ES$.

Заряд заключённый внутри цилиндра равен $\sigma S$. По теореме Гаусса:\[ 2ES = \dfrac{\sigma S}{\varepsilon_0}, \] откуда \[ E = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \] $E$ не зависит от длины цилиндра, то есть значение напряжённости поля на любых расстояниях одинаково. Такое поле называется однородным.

Разность потенциалов между точками 1 и 2, соответственно лежащими на расстояниях $x_1$ и $x_2$ от плоскости, равна: \[ \phi_1 - \phi_2 = \int\limits_1^2 E_l \mathrm{d} l = E \cdot \vec{l_{12}} \cos \alpha, \] где $\vec{l_{12}}$ — вектор перемещения из точки 1 в точку 2. Тогда проекцию вектора перемещения на направление силовых линий обозначим как разность координат $(x_2 - x_1)$, мы можем так сделать, так как наименьшее расстояние от плоскости — это длина перпендикуляра к плоскости, а вектор напряжённости, тоже перпендикулярен плоскости. Введём ось $X$, на которой проекция вектора перемещения параллельна силовым линиям. \[ (x_2 - x_1) = \vec{l_{12}} \cos \alpha \] \[ \phi_1 - \phi_2 = E (x_2 - x_1) = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (x_2 - x_1) \]