1.12 Связь между напряжённостью и потенциалом

Сравнивая определение работы и потенциала, получим:

\[ \int\limits_1^{\infty} \vec{F} \vec{ \mathrm{d} l } = A_{\infty} = q_0 \phi = W \] \[ \int\limits_1^{\infty} \vec{F} \vec{ \mathrm{d} l } = q_0 \int\limits_1^{\infty} \vec{E} \vec{ \mathrm{d} l } = q_0 \phi \] \[ \phi = \int\limits_1^{\infty} \vec{E} \vec{ \mathrm{d} l } \] Продифференцируем выражение. При дифференцировании интеграла с переменным нижним пределом получим подынтегральную функцию со знаком минус: \[ \mathrm{d} \phi = - ( \vec{E} \cdot \vec{ \mathrm{d} l} ) \] Запишем скалярное произведение через произведения соответствующих компонент векторов \[ \mathrm{d} \phi = - ( \vec{E} \cdot \vec{ \mathrm{d} l} ) = - ( E_x \mathrm{d} x + E_y \mathrm{d} y + E_z \mathrm{d} z ) \] Теперь учтем, что потенциал – функция, зависящая от трех координат \[ \phi = \phi (x,y,z) \] По формуле полного дифференциала от функции трёх переменных получим: \[ \mathrm{d} \phi = \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \mathrm{d} x + \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \mathrm{d} y + \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \mathrm{d} z \] Приравняем правые части: \[ - ( E_x \mathrm{d} x + E_y \mathrm{d} y + E_z \mathrm{d} z ) = \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \mathrm{d} x + \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \mathrm{d} y + \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \mathrm{d} z \] Из этого следуют равенства: \[ E_x = - \dfrac{\partial \phi}{\partial x}; \; \; E_y = - \dfrac{\partial \phi}{\partial y}; \; \; E_z = - \dfrac{\partial \phi}{\partial z}; \] Для вектора напряженности в целом получаем выражение \[ \vec{E} = -\vec{i} \dfrac{\partial \phi}{\partial x} -\vec{j} \dfrac{\partial \phi}{\partial y} -\vec{k} \dfrac{\partial \phi}{\partial z} = \] \[ = - \left( \vec{i} \dfrac{\partial}{\partial x} +\vec{j} \dfrac{\partial}{\partial y} +\vec{k} \dfrac{\partial}{\partial z} \right) \phi = - \text{grad} \phi \] Связь между напряжённостью и потенциалом имеет вид \[ \vec{E} = - \text{grad} \phi = - \nabla \phi\] где $\text{grad}$ — градиент, а $\nabla$ — векторный оператор набла.

Знак минус в данном выражении показывает, что вектор напряжённости $\vec{E}$ электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.